Un nombre divisible par dix se termine forcément par 0, donc le dixième chiffre est 0.
Un nombre divisible par 5 se termine forcément par 0 ou 5, comme 0 est déjà placé le 5ième chiffre est donc 5.
Pour qu'un nombre soit divisible par un nombre pair il doit être pair, donc les chiffres aux positions 2, 4, 6 et 8 sont pairs et vallent donc 2, 4, 6 ou 8.
Pour les chiffres aux positions impairs 1, 3, 7 et 9 il ne reste donc que les valeurs 1, 3, 7 et 9.
100 est divisible par 4 donc la divisibilité par 4 du nombre formé des 4 premiers chiffres ne dépend que du 3ième et du 4ième chiffre. Le troisième chiffre étant 1, 3, 7, ou 9, les possibilités pour le couple sont 12, 16, 32, 36, 72, 76 et 92, 96. Donc le 4ième chiffre est 2 ou 6.
Pour qu'un nombre soit divisible par 8 il doit être divisible par 4, le raisonnement pour le chiffre en 4ième position est donc aussi valable pour le chiffre en 8ième position. Le 8ième chiffre est donc 2 ou 6 également.
Comme le 4ième et le 8ième chiffres prennent les valeurs 2 ou 6, le 2ième et le 6ième chiffres prennent les valeurs 4 ou 8.
Un petit point, on en est donc a :
1ier chiffre : 1 3 7 9
2ième chiffre : 4 8
3ième chiffre : 1 3 7 9
4ième chiffre : 2 6
5ième chiffre : 5
6ième chiffre : 4 8
7ième chiffre : 1 3 7 9
8ième chiffre : 2 6
9ième chiffre : 1 3 7 9
10ième chiffre : 0
Pour que le nombre formé des 3 premiers chiffres soit divisible par 3 il faut que la somme de ces chiffres soit divisible par 3.
Comme pour qu'un nombre soit divisible par 6 il doit être divisible par 3,donc le nombre formés des 6 et 9 premiers chiffres est également divisible par 3. Commes la somme des 3 premiers chiffres de ce nombre de 6 chiffres congrue déjà à 0 modulo 3, la somme des 3 derniers chiffres de ce nombre de 6 chiffres doit être divisible par 3. Donc la somme des chiffres 4, 5 et 6 est divisible par 3.
Avec le même raisonnement pour le nombre formé des 9 premiers chiffres on en déduit que la somme des chiffres 7, 8 et 9 doit également être divisible par 3.
Pour le nombre formé des chiffres en position 1-2-3, il nous reste les possibilités suivantes : 147, 183, 189, 381, 741 et 981.
Pour le nombre formé des chiffres en position 4-5-6, il nous reste les possibilités suivantes : 258 et 654.
Le nombre formé des chiffres en position 7-8-9 il nous reste les possibilités suivantes : 123, 129, 321, 327, 723, 729, 921, 927, 369 et 963.
A cause de la divisibilité par 8 du nombre formé par les 8 premiers chiffres, pour les nombres formés des chiffres 7 et 8 les possibilités sont 16, 32, 56, 72 et 96. Si on filtre les possibilités pour le nombre avec les chiffres en position 7-8-9 avec cette information il ne nous reste plus que les nombres 321, 327, 723, 729 et 963.
Tous les nombres candidats pour la position 1-2-3 contienne un 1, on peut donc également éliminer 321 pour la position 7-8-9. Cela nous laisse encore 327, 723, 729 et 963.
Si l'on choisit 258 pour le nombre en position 4-5-6, comme chaque chiffre n'est présent qu'une fois cela nous laisse comme nombre final possible 1472589630 ou 7412589630. Aucun des deux n'étant divisible par 7, le nombre en position 4-5-6 est 654.
Cela élimine donc les possibilités 147 et 741 pour le nombre en position 1-2-3 ainsi que la possibilité 963 pour le nombre en position 7-8-9.
On a donc : (183 | 189 | 381 | 981) 654 (327 | 723 | 729) 0.
Les possibilités pour le nombre final sont donc : 1836547290, 1896543270, 1896547230, 3816547290, 9816547290.
Or parmis ces nombre, un seul a ces 7 premiers chiffres divisibles par 7.
La seule possibilité est donc 3 816 547 290.
Il ne reste plus qu'à vérifier que ce nombre respecte bien entièrement l'énoncé, ouf c'est le cas !