Il n'y a aucune solution (sauf en pliant la feuille - merci Soumonné).
Démonstration reposant sur la théorie des graphes:
Le problème revient en fait à chercher une chaîne eulérienne dans le graphe associé au dessin,
(les intersections sont les sommets, et les traits les reliant sont les arêtes).
Une chaîne eulérienne est en effet un chemin passant par toutes les arêtes une et une seule fois.
Or si l'on a une chaîne eulérienne, tous les sommets sauf éventuellement ceux de départ et d'arrivé sont
de dégré pair (le nombre d'arête relié à ces sommets est pair).
Donc comme ici on a 4 sommets de degré impair (les quatres coins du carré sont de degré 5), il ne peut y avoir de chemin eulérien.
(La démonstration de la propriété des chaînes eulériennes utilisée ici peut ce faire par récurrence sur le nombre d'arêtes).
Démonstration algorithmique:
Partir du milieu d'un segment ne présente aucun avantage puisqu'il faudra revenir sur le même segment à la fin,
il faut donc partir d'une intersection de segments.
Les pointes peuvent être vu comme un seul segment.
On numérote ainsi les intersections en violet et les segments en noir:

Il ne reste donc "qu'à" partir de chacune des cinq intersections en essayant tous les chemins possibles,
sans repasser deux fois sur le même segment.
Le faire à la main est difficile (enfin surtout très long), mais en utilisant un algorithme récursif on peut le faire assez facilement et constater qu'il n'y a aucune solution.