Enigmes mathématiques
Géométrie
Fil Conducteur
Imaginez une pièce en forme de parallélépipède rectangle (pavé) avec une longueur de 100 mètres, et les 2 faces opposées carrées de coté de 10m (hauteur de 10m et largeur de 10 m).
Sur une des faces carrées, on a une prise électrique au milieu de la largeur et à un mètre du sol.
Sur l'autre face carrée, on a une ampoule au milieu de la largeur et à un mètre du plafond.
Vous devez relier la prise et l'ampoule avec un fil éléctrique courant le long des murs sans jamais pendre dans le vide.
Problème votre fil électrique ne mesure que 104m, allez-vous réussir ?
(Merci Pacman72li206)
Indice 1
Indice 2
- Réponse
Une bonne manière de résoudre le problème est de faire un patron de la pièce.
Si on met les deux murs contenant la prise et l'ampoule aux extrémités du patron mais sur le même niveau et qu'on les relit (trait rouge sur l'image), cela ne fonctionne pas, on a un fil de 100+1+9 = 110 mètres.
Par contre si on tire un trait passant par un des murs latéraux (trait bleu sur l'image), on reste bien en dessous des 104.
En effet avec le théorème de Pythagore, on vérifie sqrt(102²+20²) < 104.
Les proportions ne sont pas respectées du tout sur l'image.
(Merci Pacman72li206)
Des figures géométriques
Expliquez le paradoxe suivant :
Observez ces deux figures, comme vous le voyez, elles sont constituées de formes identiques, et pourtant elles n'ont pas la même surface.
Indice 1
Indice 2
Indice 3
- Réponse
Regardez bien les triangles de la deuxième figure et en utilisant la trigonométrie, vous verrez que ce ne sont pas de vrais triangles.
En effet, avec le théorème de Thalès, si on regarde les triangles (vert et vert+rouge) ou (bleu et bleu+jaune) on peut noter que 3/8 n'est pas égal à 5/13 et donc que la pente des triangles vert et bleu n'est pas la même que la pente des formes rouge et jaune. On triche donc en faisant croire que les formes sont parfaitement jointes sur la deuxième figure.
(Merci Adri et Fibona)
Demi-cercle
Trois points sont disposés aléatoirement sur un cercle.
Quelle est la probabilité que les trois points soient dans le même demi-cercle ?
- Réponse
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3/4
(Merci Sousmarin)
Les deux premiers points sont forcement sur un même demi-cercle.
Si les deux premiers points sont très proches, le troisième sera très probablement sur un même demi-cercle.
Si les deux premiers points sont presque diamétralement opposés (mais pas exactement),
la probabilté que le troisième points soit sur le même demi-cercle sera de 1/2.
Intuitivement on voit donc que la probabilté sera entre 1/2 et 1.
Comme indiqué par Sousmarin cette probabilité vaut 3/4 (75%).
Démonstration :
Soit X, Y et Z les trois points disposés sur le cercle.
On "coupe" le cercle au point diamétralement opposé à X.
On considère ainsi le segment partant de cette "coupure" et y retournant en parcourant le cercle dans le sens trigonométrique.
On gradue ce segment entre -1 (compris) et +1 (exclu).
On note x, y et z les positions respectives des points X, Y et Z sur ce segment.
On a donc x = 0 et -1 <= y < 1 et -1 <= z < 1.
La probabilité que les trois points soient sur le même demi-cercle devient ainsi
la probalité que |y-z| <= 1
C'est à dire -1 <= y - z <= 1
d'où -1 + z <= y <= 1 + z
z et y étant tirés aléatoirement (et uniformément) entre -1 et 1, on a
P(z) = P(-1 + z <= y <= 1 + z) = 1 - ( |z| / 2 )
si l'on intègre P(z) entre -1 et 1, on trouve :
integrale( P(z), -1, 1 ) = integrale( 1 + z/2, -1, 0 ) + integrale( 1 - z / 2, 0, 1 )
integrale( P(z), -1, 1 ) = 2 * integrale( 1 - z / 2, 0, 1 )
integrale( P(z), -1, 1 ) = 2 * ( 1 - 1/(2*2) ) = 2 * 3/4
donc integrale( P(z), -1, 1 ) / (1 - (-1)) = 3/4
La probabilité que les trois points soient sur le même demi-cercle est donc de 3/4.
